Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, hallo. In den letzten Vorlesungen haben wir ja über uneigentliche Integrale gesprochen.

Ich wiederhole nochmal kurz, was wir da so gesagt haben.

Die uneigentlichen Integrale kommen ja im Moment auch in den Übungen vor.

Da haben Sie einmal Integrale über unbeschränkte Intervalle.

Also man schreibt ein Integral von a bis unendlich f von x dx.

Aber die Riemann-Integrale sind nur über endliche Intervalle definiert.

Deshalb muss man dieses Integral im Sinne eines Grenzwertes betrachten.

Man schiebt die obere Integrationsgrenze gegen unendlich und betrachtet dann das Integral von a bis b.

Die obere Grenze schiebt man hier gegen unendlich.

Und wenn der Grenzwert dann existiert, nennt man das das Integral von a bis unendlich.

Für diese endlichen Intervalle von a bis b hat man hier nur Riemann-Integrale. Die haben wir definiert.

Und das funktioniert nicht immer.

Das uneigentliche Integral existiert nur, wenn dieser Grenzwert hier auch existiert.

Und da gibt es interessante Beispiele, zum Beispiel auch aus der Stochastik.

Sie kennen ja die Normalverteilung.

Da haben Sie eins durch Wurzel 2 Pi mal das Integral von 0 bis unendlich e hoch minus 1,5x² dx.

Und diese Verteilung, die ist ja auf der ganzen reellen Achse verteilt.

Insgesamt muss die die Masse 1 haben, weil es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.

Hier integrieren wir aber nur von 0 bis unendlich.

Und das andere Stückchen von minus unendlich bis 0, das ist symmetrisch, da ist die Fläche gleich groß.

Und tatsächlich kommt hier ein halb heraus.

Also damit erhält man dann so eine Dichte für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, also im Zusammenhang mit der Normalverteilung.

Bei diesen uneigentlichen Integralen gibt es auch so etwas wie bedingte Konvergenz.

In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass das Integral von 1 bis unendlich sin x geteilt durch x dx konvergent ist.

Aber das ist nicht absolut konvergent.

Man nennt ein Integral absolut konvergent, wenn auch der Integrant mit absolut, strechen drum herum noch, uneigentlich integrierbar ist.

Und hier ist es nicht der Fall.

Das heißt, wenn man das Integral von 1 bis unendlich vom Betrag von sin x geteilt durch x dx betrachtet,

dann ist das kein endliches Integral, also das ist divergent, das ist gleich unendlich.

Wir haben auch für diese uneigentlichen Integrale, wie wir es schon bei den Reihen hatten, hinreichende Konvergenzbedingungen gesehen.

Hier gab es auch ein Vergleichskriterium.

Das ist immer wichtig, das Vergleichskriterium.

Um mit dem Vergleichskriterium die Konvergenz zu zeigen, braucht man eine Majorante.

Das ist eine obere Schranke, von der man weiß, dass für die obere Schranke das uneigentliche Integral existiert.

Also falls gilt, der Betrag von f von x ist kleiner gleich g von x und das Integral von a bis unendlich g von x dx existiert,

also ist kleiner unendlich.

So folgt auch f ist uneigentlich integrierbar, sogar absolut, also das Integral von a bis unendlich vom Betrag von f von x dx ist kleiner gleich dem Integral von a bis unendlich g von x dx, also auch kleiner unendlich.

Also hier benutzt man das Vergleichskriterium, um die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals zu zeigen.

Hier gibt es auch wieder die Situation, dass man so eine divergente Minorante findet, also nach unten abschätzt und wenn die untere Schranke dann divergent ist,

dann kann auch das abgeschätzte Integral nicht existieren.

Also das ist die andere Anwendung.

Das haben Sie ja auch bei den Reihen schon gesehen.

Das waren also Integrale über unbeschränkte Intervalle.

Wir haben auch schon mit den beschränkten Intervallen begonnen.

Da gibt es manchmal Probleme mit irgendwelchen Singularitäten der Funktionen, also dass die gegen unendlich gehen oder irgendwo nicht definiert sind.

Und dann kann man da den gleichen Trick machen.

Man schiebt so eine Integrationsgrenze gegen den Wert, den man haben möchte.

Bei den endlichen Intervallen ist das nicht unendlich, sondern eben die endliche Integrationsgrenze, zu der man hin möchte.

Und dazu die formale Definition, also für die endlichen Intervalle.